Demostración de las propiedades de logaritmos

Vamos a ver enseguida algunas propiedades fundamentales de los logaritmos, las cuales nos serán de mucha utilidad en la resolución de ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

La primera de estas propiedades es la del logaritmo de un producto. Esta se expresa como sigue:

log_a (u·v) = log_a u + log_a v

Para demostrar esta propiedad bastará con aplicar la ley de los exponentes del producto de potencias con la misma base y la definición de logaritmo. Pero antes, representemos a u y a v como potencias de la base a empleando la definición de logaritmo:

u = a^{log_a u} y v = a^{log_a v}

Ahora, multiplicando u por v y aplicando leyes de exponentes:

u·v = a^{log_a u}·a^{log_a v} = a^{(log_a u+log_a v )}

Entonces, si aplicamos la definición de logaritmo, el logaritmo de un producto de números u·v será:

log_a (u·v) = log_a a^{(log_a u+log_a v )} = log_a u + log_a v

Un procedimiento similar es el que se aplica en las dos propiedades siguientes. Una de estas es el logaritmo de un cociente, que se escribe así:

log_a u/v = log_a u - log_a v

Al convertir u y v a una potencia con base a obtendríamos lo mismo que en el caso anterior, sólo que ahora no se multiplicarán, sino que se dividirán.

u/v = a^{log_a u}/a^{log_a v} =a^{log_a u - log_a v}

Se aplicó la ley de los exponentes para el caso de la división de potencias con la misma base. Si se calcula ahora el logaritmo a la última expresión nos queda:

log_a a^{log_a u - log_a v} = log_a u – log_a v

Y otra propiedad importante es la del logaritmo de una potencia:

 

log_a uⁿ = n·log_a u

Nuevamente, para demostrar esta propiedad convertimos u en una potencia de base a y lo elevamos al exponente n:

(a^{log_a u})ⁿ = a^{n·log_a u}

 

Aquí se aplicó la ley de exponentes de potencia de una potencia, la cual dice que se deben multiplicar los exponentes, obteniéndose n·log_a u. La propiedad queda demostrada si calculamos el logaritmo de la última expresión obtenida.

log_a (a^{n·log_a u}) = n·log_a u

Por último, demostraremos una propiedad de logaritmos que nos resulta muy útil cuando necesitamos cambiar de base en el logaritmo. Dicha propiedad es:

 

  log_b u = log_a u / log_a b 

Para demostrar esta propiedad partiremos de la siguiente identidad:

b^{log_b u} = u

Ahora, apliquemos a ambos miembros de la igualdad el logaritmo en base a:

log_a b^{log_b u} = log_a u

Por la ley del logaritmo de una potencia:

log_b u · log_a b = log_a u

Por último, se despeja log_b u y nos queda la expresión que queríamos demostrar:

log_b u = log_a u / log_a b