Números de dos cifras igual al doble producto de sus cifras

Mesas y sillas

Ejercicios de ecuaciones logarítmicas

Ecuaciones logarítmicas

Cuando una ecuación tiene logaritmos en cuyo argumento aparece la incógnita x, decimos que tal ecuación es una ecuación logarítmica. A continuación veré un procedimiento que puede seguirse en la resolución de este tipo de ecuaciones.

Ejemplo 1. Resolver la ecuación log(5x-1) - log(x-3) = 2.

El procedimiento consiste en lograr tres objetivos: primero, reducir todos los logaritmos que aparezcan a uno solo; segundo, eliminar este logaritmo empleándolo como exponente de una base; y, por último, al quedarnos una ecuación algebraica (lineal o de grado mayor), resolverla. Hagámoslo con este caso.

Sabemos que la resta de dos logaritmos equivale a el logaritmo de una división, por tanto, la ecuación original queda de la siguiente forma:

log(5x-1)/(x-3) = 2

Como el logaritmo es de base 10, podemos eliminarlo si elevamos 10 a este logaritmo, es decir:

10^{log(5x-1)/(x-3)} = 10²

(5x-1)/(x-3) = 100

De esta manera, ahora sólo tenemos una ecuación algebraica con incógnita x, que hay que resolver despejando x.

5x-1 = 100(x-3)          (pasamos a x-3 multiplicando)

5x-1 =100x -300        (efectuamos la multiplicación por 100)

5x-100x = 1-300        (juntamos términos semejantes)

-95x = -299                (simplificamos términos semejantes)

x = 299/95                 (despejamos x)

Así que la solución de la ecuación logarítmica original es x=299/95 = 3.1473. Lo cual podemos comprobar sustituyendo x en ella:

log [5(3.1473)-1] - log (3.1473-3) = 2

log(14.7365) - log(0.1473) = 2

1.1683 - (-0.8318) = 2

1.1683 + 0.8318 = 2

Ejercicios propuestos.

1. log x = 1 - log (x-3)

2. log (5x+1) = 2 + log (2x-3)

3. log (x-4) - log(3x-10) = log (1/x)

Ecuaciones exponenciales

A diferencia de las funciones, que pueden tomar conjuntos de valores en sus variables independiente x (dominio) y dependiente y (contradominio), las ecuaciones son igualdades en donde el conjunto de valores de la variable se limita a uno o varios números reales. A este conjunto se le llama solución y a la variable incógnita. Determinar el valor de la incógnita significa resolver la ecuación.

Cuando la incógnita de una ecuación aparece como exponente o como parte de un exponente, la ecuación es una ecuación exponencial. Veamos con dos ejemplos un procedimiento a seguir para resolver ecuaciones exponenciales.

Ejemplo 1. Resolver la ecuación 3^x = 21.

Una de las claves para resolver este tipo de ecuaciones está en hacer que la variable x, presente en un exponente, salga de allí a multiplicarse, sumarse, restarse o dividirse con otros términos, como en cualquier ecuación algebraica. Es decir, hay que convertir la ecuación exponencial en algebraica. 

En este caso, podemos hacerlo aplicando primero logaritmo común a ambos lados de la igualdad y luego la propiedad de el logaritmo de una potencia. Estos serían los cambios que sucederían:

  log 3^x = log 21

x·log 3 = log 21

Ahora tenemos una ecuación algebraica de una incógnita, la cual resolvemos despejando x. log 3 y log 21 son números que calcularemos posteriormente, después de despejar la incógnita. Esto último queda de la siguiente manera:

x = log 21/log 3

x =  1.3222/0.4771

x = 2.771

Se despejó x quitándole el log 3 que lo multiplicaba (se pasó dividiendo a log 21). Luego se calcularon los log 21=1.3222 y log 3=0.4771, para realizar por último la división de ellos. Entonces x=2.771. Podemos verificar que el resultado es correcto sustituyendo 2.771 en la ecuación exponencial original:

3^2.771 = 21

Ejemplo 2. Resolver la ecuación 5^2x+1 = 6^x-2.

Seguiremos el mismo procedimiento que en el ejemplo anterior. Calculamos logaritmos comunes a  ambos miembros de la igualdad, lo que resultaría en lo siguiente:

log 5^2x+1 = log 6^x-2

 Ahora, aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia en ambos logaritmos nos queda así:

(2x+1)log 5 = (x-2)log 6

Efectuamos las multiplicaciones para eliminar los paréntesis y poder agrupar después terminos semejantes (números con números y x con x).

(2log 5)x + log 5 = (log 6)x - 2log 6

(2log 5)x - (log 6)x   =  - 2log 6 - log 5

(2log 5 - log 6)x = - 2log 6 - log 5

 Por último, despejamos x:

x = (- 2log 6 - log 5) / (2log 5 - log 6)

Y calculamos los logaritmos para determinar x:

x = -2.2552 / 0.6198

x = -3.638

Si reemplazamos este valor de x en la ecuación original, veremos que hace que se cumpla la igualdad, al resultar 0.000041 en ambos lados de la igualdad.

Propiedades básicas de los logaritmos

Demostración de las propiedades de logaritmos

Vamos a ver enseguida algunas propiedades fundamentales de los logaritmos, las cuales nos serán de mucha utilidad en la resolución de ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

La primera de estas propiedades es la del logaritmo de un producto. Esta se expresa como sigue:

log_a (u·v) = log_a u + log_a v

Para demostrar esta propiedad bastará con aplicar la ley de los exponentes del producto de potencias con la misma base y la definición de logaritmo. Pero antes, representemos a u y a v como potencias de la base a empleando la definición de logaritmo:

u = a^{log_a u} y v = a^{log_a v}

Ahora, multiplicando u por v y aplicando leyes de exponentes:

u·v = a^{log_a u}·a^{log_a v} = a^{(log_a u+log_a v )}

Entonces, si aplicamos la definición de logaritmo, el logaritmo de un producto de números u·v será:

log_a (u·v) = log_a a^{(log_a u+log_a v )} = log_a u + log_a v

Un procedimiento similar es el que se aplica en las dos propiedades siguientes. Una de estas es el logaritmo de un cociente, que se escribe así:

log_a u/v = log_a u - log_a v

Al convertir u y v a una potencia con base a obtendríamos lo mismo que en el caso anterior, sólo que ahora no se multiplicarán, sino que se dividirán.

u/v = a^{log_a u}/a^{log_a v} =a^{log_a u - log_a v}

Se aplicó la ley de los exponentes para el caso de la división de potencias con la misma base. Si se calcula ahora el logaritmo a la última expresión nos queda:

log_a a^{log_a u - log_a v} = log_a u – log_a v

Y otra propiedad importante es la del logaritmo de una potencia:

 

log_a uⁿ = n·log_a u

Nuevamente, para demostrar esta propiedad convertimos u en una potencia de base a y lo elevamos al exponente n:

(a^{log_a u})ⁿ = a^{n·log_a u}

 

Aquí se aplicó la ley de exponentes de potencia de una potencia, la cual dice que se deben multiplicar los exponentes, obteniéndose n·log_a u. La propiedad queda demostrada si calculamos el logaritmo de la última expresión obtenida.

log_a (a^{n·log_a u}) = n·log_a u

Por último, demostraremos una propiedad de logaritmos que nos resulta muy útil cuando necesitamos cambiar de base en el logaritmo. Dicha propiedad es:

 

  log_b u = log_a u / log_a b 

Para demostrar esta propiedad partiremos de la siguiente identidad:

b^{log_b u} = u

Ahora, apliquemos a ambos miembros de la igualdad el logaritmo en base a:

log_a b^{log_b u} = log_a u

Por la ley del logaritmo de una potencia:

log_b u · log_a b = log_a u

Por último, se despeja log_b u y nos queda la expresión que queríamos demostrar:

log_b u = log_a u / log_a b

Grafica de una función exponencial

Concepto intuitivo de logaritmo

Funciones logarítmicas

Se define un logaritmo como “el exponente al que debe elevarse una cierta base para obtener un determinado valor”. Así, por ejemplo, el logaritmo en base 3 de 81, es el exponente al que debería elevar la base 3 para obtener 81, es decir, es igual a 4. Esto se representa simbólicamante de la siguiente forma:

log₃ 81 = 4, porque 3⁴ = 81

Las bases siempre se toman con signo positivo y pueden ser enteras o fraccionarias, incluso números irracionales como el número e (número de Euler), cuyo valor es 2.71828... Al emplearse este número como base de logarítmos nos hallamos frente al llamado sistema de logaritmos naturales. En este caso la nomenclatura varía un poco:

ln 20 = 2.995, porque e^2.995 = (2.7182)^2.995 = 20

En caso de que usemos la base entera 10, el logaritmo se llama logaritmo vulgar. En estos se omite poner la base 10 como subíndice. Ejemplo:

log 120 = 2.079, porque 10^2.079 = 120

Puedes ver el siguiente video en donde se ejemplifica el cálculo de logaritmos a partir del Concepto intuitivo de logaritmo.

Una función logarítmica es aquella que contiene a la variable independiente dentro de un logaritmo, en lo que se llama “argumento” del logaritmo. Estos son algunos ejemplos:

y = log₅ (x+1)

y = log (2x)    

y = 3ln (x)      

Los argumentos de las funciones anteriores son los espacios que hay entre los paréntesis y, como puede observarse, contienen expresiones algebraicas con la variable independiente x, como “x+1”, “2x” o simplemente la variable “x”. A continuación veremos un poco sobre las gráficas de este tipo de funciones.

 

Ejemplo 1. Las gráficas de funciones logarítmicas son semejantes a las de las funciones exponenciales, sólo que varían en su posición, teniendo como asíntota ya no al eje x sino al eje y. Por ejemplo, la gráfica para y = log x sería similar a la de y = 10^x, como se ve a continuación:

Gráfica de y = log x

Gráfica de y = 10^x

Obsérvese que la asíntota en la función logarítmica es el eje y. Los cambios semejantes a los que vimos antes en las funciones exponenciales se pueden producir en las logarítmicas cambiando el signo del logaritmo. Por ejemplo, si en vez de y=logx escribimos y= -logx, la gráfica de esta última se extenderá de arriba hacia abajo simétricamente con la de la primera.

Ejercicios propuestos.

1. Realiza la gráfica de las siguientes funciones logarítmicas:

a) y=-log₄x

b) y=log₅x

c) y=-lnx

d) y=log(2x)

e) y=-log₅x

f) y=log₆x

g) y=ln (2x)

Funciones exponenciales

Las funciones algebraicas suelen estar compuestas por términos como xⁿ, en donde x se llama base y n es el exponente. Si ahora invertimos la posición de estos elementos tendremos: n^x. A las funciones que poseen términos como este último, donde la variable x es un exponente, se les denomina funciones exponenciales. A continuación veremos algunos ejemplos de este tipo de funciones y sus correspondientes gráficas.

 

En una función exponencial que tenga la forma y=n^x, si n es positivo y mayor que 1, tendremos una gráfica que al aumentar x aumenta y (tendiendo al infinito), pero al disminuir x y tomar valores negativos de magnitud cada vez mayor, el valor de y disminuye teniendo como límite 0. Esto último significa que al extenderse la gráfica hacia la izquierda se acercará más y más al eje de coordenadas x, sin tocarlo. Por esta razón se dice que el eje x es una asíntota de la gráfica de y=n^x.

 

Ejemplo 1. Para mostrar lo dicho anteriormente, grafiquemos la funcion exponencial y=2^x. En una tabla vamos a registrar los valores correspondientes de x y de y:

x	y=2x	Puntos
2	22=4	(2, 4)
1	21=2	(1, 2)
0	20=1	(0, 1)
-2	2-2=(1/2)2=1/4=0.25	(-2, 0.25)

Y su gráfica sería la siguiente:

Para los valores de -4, -6, -20, etc., el valor de y se acercará cada vez más a cero, pero sin llegar. Por ejemplo, si x=-20, y=0.000000954. Pero, el comportamiento de la gráfica de una función exponencial y=-n^x es diferente si la base n es menor que -1. Como es de esperarse, el signo que se ha agregado como un factor -1 convierte todos los resultados de la potencia n^x (que es positiva, ya que suponemos que n es positivo también) en negativos, por lo que los valores de y estarán todos por debajo del eje x.

 

Ejemplo 2. Verifiquemos estos cambios en la gráfica con la función y=-3^x. La tabla con el cálculo de algunos puntos sería la siguiente:

x	y=-3x	Puntos
-1	-3-1=-(1/3)=-0.33	(-1, -0.33)
0	-30=-1	(0, -1)
1	-31=-3	(1, -3)
2	-32=-9	(2, -9)

Y su gráfica:

Como puede verse, esta función sigue teniendo como asíntota al eje x, sólo que la gráfica está por debajo de dicho eje. Igual que en la función del ejemplo anterior y aumenta al aumentar x. Hay, por último, un caso en que al aumentar x la variable y disminuye. 

Esto ocurre cuando el valor de n se encuentra entre -1 y 1 (-1 < n < 1), esto es, cuando toma valores fraccionarios. Sin embargo, sería equivalente a cambiar el signo en el exponente x. Sin embargo, sería equivalente a cambiar el signo en el exponente x. Así, y=(1/2)^x equivaldría a y=2^-x. Esto, porque sabemos que 1/2=2^-1.

El cambio de signo en el exponente x tiene como efecto en la gráfica que se formará un reflejo simétrico de la gráfica original con respecto al eje y, como veremos a continuación.

Ejemplo 3. Graficamos la función y=(1/2)^x.

x	y=(1/2)x	Puntos
-2	(1/2)-2=(2)2=4	(-2, 4)
-1	(1/2)-1=(2)1=2	(-1, 2)
0	(1/2)0=1	(0, 1)
1	(1/2)1=1/2=0.5	(1, 0.5)

Efectivamente, esta gráfica nos resulta simétrica respecto al eje y al compararla con la del ejemplo 1, cuya función era y=2^x. De la misma forma, si graficaramos y=(-1/3)^x, obtendríamos una gráfica simétrica en y con la del ejemplo 2, en donde teníamos la función y=-3^x.

Como complemento a este artículo te recomiendo que mires este video sobre cómo Graficar una función exponencial.

Ejercicios propuestos.

Realiza la gráfica de las siguientes funciones exponenciales: