Cuando una ecuación tiene logaritmos en cuyo argumento aparece la incógnita x, decimos que tal ecuación es una ecuación logarítmica. A continuación veré un procedimiento que puede seguirse en la resolución de este tipo de ecuaciones.
Ejemplo 1. Resolver la ecuación log(5x-1) - log(x-3) = 2.
El procedimiento consiste en lograr tres objetivos: primero, reducir todos los logaritmos que aparezcan a uno solo; segundo, eliminar este logaritmo empleándolo como exponente de una base; y, por último, al quedarnos una ecuación algebraica (lineal o de grado mayor), resolverla. Hagámoslo con este caso.
Sabemos que la resta de dos logaritmos equivale a el logaritmo de una división, por tanto, la ecuación original queda de la siguiente forma:
log(5x-1)/(x-3) = 2
Como el logaritmo es de base 10, podemos eliminarlo si elevamos 10 a este logaritmo, es decir:
10log(5x-1)/(x-3) = 102
(5x-1)/(x-3) = 100
De esta manera, ahora sólo tenemos una ecuación algebraica con incógnita x, que hay que resolver despejando x.
5x-1 = 100(x-3) (pasamos a x-3 multiplicando)
5x-1 =100x -300 (efectuamos la multiplicación por 100)
5x-100x = 1-300 (juntamos términos semejantes)
-95x = -299 (simplificamos términos semejantes)
x = 299/95 (despejamos x)
Así que la solución de la ecuación logarítmica original es x=299/95 = 3.1473. Lo cual podemos comprobar sustituyendo x en ella:
log [5(3.1473)-1] - log (3.1473-3) = 2
log(14.7365) - log(0.1473) = 2
1.1683 - (-0.8318) = 2
1.1683 + 0.8318 = 2
Ejercicios propuestos.
1. log x = 1 - log (x-3)
2. log (5x+1) = 2 + log (2x-3)
3. log (x-4) - log(3x-10) = log (1/x)
No hay comentarios:
Publicar un comentario