Ejercicios de ecuaciones logarítmicas

Ecuaciones logarítmicas

Cuando una ecuación tiene logaritmos en cuyo argumento aparece la incógnita x, decimos que tal ecuación es una ecuación logarítmica. A continuación veré un procedimiento que puede seguirse en la resolución de este tipo de ecuaciones.

Ejemplo 1. Resolver la ecuación log(5x-1) - log(x-3) = 2.

El procedimiento consiste en lograr tres objetivos: primero, reducir todos los logaritmos que aparezcan a uno solo; segundo, eliminar este logaritmo empleándolo como exponente de una base; y, por último, al quedarnos una ecuación algebraica (lineal o de grado mayor), resolverla. Hagámoslo con este caso.

Sabemos que la resta de dos logaritmos equivale a el logaritmo de una división, por tanto, la ecuación original queda de la siguiente forma:

log(5x-1)/(x-3) = 2

Como el logaritmo es de base 10, podemos eliminarlo si elevamos 10 a este logaritmo, es decir:

10^{log(5x-1)/(x-3)} = 10²

(5x-1)/(x-3) = 100

De esta manera, ahora sólo tenemos una ecuación algebraica con incógnita x, que hay que resolver despejando x.

5x-1 = 100(x-3)          (pasamos a x-3 multiplicando)

5x-1 =100x -300        (efectuamos la multiplicación por 100)

5x-100x = 1-300        (juntamos términos semejantes)

-95x = -299                (simplificamos términos semejantes)

x = 299/95                 (despejamos x)

Así que la solución de la ecuación logarítmica original es x=299/95 = 3.1473. Lo cual podemos comprobar sustituyendo x en ella:

log [5(3.1473)-1] - log (3.1473-3) = 2

log(14.7365) - log(0.1473) = 2

1.1683 - (-0.8318) = 2

1.1683 + 0.8318 = 2

Ejercicios propuestos.

1. log x = 1 - log (x-3)

2. log (5x+1) = 2 + log (2x-3)

3. log (x-4) - log(3x-10) = log (1/x)