Funciones exponenciales

Las funciones algebraicas suelen estar compuestas por términos como xⁿ, en donde x se llama base y n es el exponente. Si ahora invertimos la posición de estos elementos tendremos: n^x. A las funciones que poseen términos como este último, donde la variable x es un exponente, se les denomina funciones exponenciales. A continuación veremos algunos ejemplos de este tipo de funciones y sus correspondientes gráficas.

 

En una función exponencial que tenga la forma y=n^x, si n es positivo y mayor que 1, tendremos una gráfica que al aumentar x aumenta y (tendiendo al infinito), pero al disminuir x y tomar valores negativos de magnitud cada vez mayor, el valor de y disminuye teniendo como límite 0. Esto último significa que al extenderse la gráfica hacia la izquierda se acercará más y más al eje de coordenadas x, sin tocarlo. Por esta razón se dice que el eje x es una asíntota de la gráfica de y=n^x.

 

Ejemplo 1. Para mostrar lo dicho anteriormente, grafiquemos la funcion exponencial y=2^x. En una tabla vamos a registrar los valores correspondientes de x y de y:

x	y=2x	Puntos
2	22=4	(2, 4)
1	21=2	(1, 2)
0	20=1	(0, 1)
-2	2-2=(1/2)2=1/4=0.25	(-2, 0.25)

Y su gráfica sería la siguiente:

Para los valores de -4, -6, -20, etc., el valor de y se acercará cada vez más a cero, pero sin llegar. Por ejemplo, si x=-20, y=0.000000954. Pero, el comportamiento de la gráfica de una función exponencial y=-n^x es diferente si la base n es menor que -1. Como es de esperarse, el signo que se ha agregado como un factor -1 convierte todos los resultados de la potencia n^x (que es positiva, ya que suponemos que n es positivo también) en negativos, por lo que los valores de y estarán todos por debajo del eje x.

 

Ejemplo 2. Verifiquemos estos cambios en la gráfica con la función y=-3^x. La tabla con el cálculo de algunos puntos sería la siguiente:

x	y=-3x	Puntos
-1	-3-1=-(1/3)=-0.33	(-1, -0.33)
0	-30=-1	(0, -1)
1	-31=-3	(1, -3)
2	-32=-9	(2, -9)

Y su gráfica:

Como puede verse, esta función sigue teniendo como asíntota al eje x, sólo que la gráfica está por debajo de dicho eje. Igual que en la función del ejemplo anterior y aumenta al aumentar x. Hay, por último, un caso en que al aumentar x la variable y disminuye. 

Esto ocurre cuando el valor de n se encuentra entre -1 y 1 (-1 < n < 1), esto es, cuando toma valores fraccionarios. Sin embargo, sería equivalente a cambiar el signo en el exponente x. Sin embargo, sería equivalente a cambiar el signo en el exponente x. Así, y=(1/2)^x equivaldría a y=2^-x. Esto, porque sabemos que 1/2=2^-1.

El cambio de signo en el exponente x tiene como efecto en la gráfica que se formará un reflejo simétrico de la gráfica original con respecto al eje y, como veremos a continuación.

Ejemplo 3. Graficamos la función y=(1/2)^x.

x	y=(1/2)x	Puntos
-2	(1/2)-2=(2)2=4	(-2, 4)
-1	(1/2)-1=(2)1=2	(-1, 2)
0	(1/2)0=1	(0, 1)
1	(1/2)1=1/2=0.5	(1, 0.5)

Efectivamente, esta gráfica nos resulta simétrica respecto al eje y al compararla con la del ejemplo 1, cuya función era y=2^x. De la misma forma, si graficaramos y=(-1/3)^x, obtendríamos una gráfica simétrica en y con la del ejemplo 2, en donde teníamos la función y=-3^x.

Como complemento a este artículo te recomiendo que mires este video sobre cómo Graficar una función exponencial.

Ejercicios propuestos.

Realiza la gráfica de las siguientes funciones exponenciales: