Concepto de función

Funciones logarítmicas

Se define un logaritmo como “el exponente al que debe elevarse una cierta base para obtener un determinado valor”. Así, por ejemplo, el logaritmo en base 3 de 81, es el exponente al que debería elevar la base 3 para obtener 81, es decir, es igual a 4. Esto se representa simbólicamante de la siguiente forma:

log₃ 81 = 4, porque 3⁴ = 81

Las bases siempre se toman con signo positivo y pueden ser enteras o fraccionarias, incluso números irracionales como el número e (número de Euler), cuyo valor es 2.71828... Al emplearse este número como base de logarítmos nos hallamos frente al llamado sistema de logaritmos naturales. En este caso la nomenclatura varía un poco:

ln 20 = 2.995, porque e^2.995 = (2.7182)^2.995 = 20

En caso de que usemos la base entera 10, el logaritmo se llama logaritmo vulgar. En estos se omite poner la base 10 como subíndice. Ejemplo:

log 120 = 2.079, porque 10^2.079 = 120

Puedes ver el siguiente video en donde se ejemplifica el cálculo de logaritmos a partir del Concepto intuitivo de logaritmo.

Una función logarítmica es aquella que contiene a la variable independiente dentro de un logaritmo, en lo que se llama “argumento” del logaritmo. Estos son algunos ejemplos:

y = log₅ (x+1)

y = log (2x)    

y = 3ln (x)      

Los argumentos de las funciones anteriores son los espacios que hay entre los paréntesis y, como puede observarse, contienen expresiones algebraicas con la variable independiente x, como “x+1”, “2x” o simplemente la variable “x”. A continuación veremos un poco sobre las gráficas de este tipo de funciones.

 

Ejemplo 1. Las gráficas de funciones logarítmicas son semejantes a las de las funciones exponenciales, sólo que varían en su posición, teniendo como asíntota ya no al eje x sino al eje y. Por ejemplo, la gráfica para y = log x sería similar a la de y = 10^x, como se ve a continuación:

Gráfica de y = log x

Gráfica de y = 10^x

Obsérvese que la asíntota en la función logarítmica es el eje y. Los cambios semejantes a los que vimos antes en las funciones exponenciales se pueden producir en las logarítmicas cambiando el signo del logaritmo. Por ejemplo, si en vez de y=logx escribimos y= -logx, la gráfica de esta última se extenderá de arriba hacia abajo simétricamente con la de la primera.

Ejercicios propuestos.

1. Realiza la gráfica de las siguientes funciones logarítmicas:

a) y=-log₄x

b) y=log₅x

c) y=-lnx

d) y=log(2x)

e) y=-log₅x

f) y=log₆x

g) y=ln (2x)

Funciones exponenciales

Las funciones algebraicas suelen estar compuestas por términos como xⁿ, en donde x se llama base y n es el exponente. Si ahora invertimos la posición de estos elementos tendremos: n^x. A las funciones que poseen términos como este último, donde la variable x es un exponente, se les denomina funciones exponenciales. A continuación veremos algunos ejemplos de este tipo de funciones y sus correspondientes gráficas.

 

En una función exponencial que tenga la forma y=n^x, si n es positivo y mayor que 1, tendremos una gráfica que al aumentar x aumenta y (tendiendo al infinito), pero al disminuir x y tomar valores negativos de magnitud cada vez mayor, el valor de y disminuye teniendo como límite 0. Esto último significa que al extenderse la gráfica hacia la izquierda se acercará más y más al eje de coordenadas x, sin tocarlo. Por esta razón se dice que el eje x es una asíntota de la gráfica de y=n^x.

 

Ejemplo 1. Para mostrar lo dicho anteriormente, grafiquemos la funcion exponencial y=2^x. En una tabla vamos a registrar los valores correspondientes de x y de y:

x	y=2x	Puntos
2	22=4	(2, 4)
1	21=2	(1, 2)
0	20=1	(0, 1)
-2	2-2=(1/2)2=1/4=0.25	(-2, 0.25)

Y su gráfica sería la siguiente:

Para los valores de -4, -6, -20, etc., el valor de y se acercará cada vez más a cero, pero sin llegar. Por ejemplo, si x=-20, y=0.000000954. Pero, el comportamiento de la gráfica de una función exponencial y=-n^x es diferente si la base n es menor que -1. Como es de esperarse, el signo que se ha agregado como un factor -1 convierte todos los resultados de la potencia n^x (que es positiva, ya que suponemos que n es positivo también) en negativos, por lo que los valores de y estarán todos por debajo del eje x.

 

Ejemplo 2. Verifiquemos estos cambios en la gráfica con la función y=-3^x. La tabla con el cálculo de algunos puntos sería la siguiente:

x	y=-3x	Puntos
-1	-3-1=-(1/3)=-0.33	(-1, -0.33)
0	-30=-1	(0, -1)
1	-31=-3	(1, -3)
2	-32=-9	(2, -9)

Y su gráfica:

Como puede verse, esta función sigue teniendo como asíntota al eje x, sólo que la gráfica está por debajo de dicho eje. Igual que en la función del ejemplo anterior y aumenta al aumentar x. Hay, por último, un caso en que al aumentar x la variable y disminuye. 

Esto ocurre cuando el valor de n se encuentra entre -1 y 1 (-1 < n < 1), esto es, cuando toma valores fraccionarios. Sin embargo, sería equivalente a cambiar el signo en el exponente x. Sin embargo, sería equivalente a cambiar el signo en el exponente x. Así, y=(1/2)^x equivaldría a y=2^-x. Esto, porque sabemos que 1/2=2^-1.

El cambio de signo en el exponente x tiene como efecto en la gráfica que se formará un reflejo simétrico de la gráfica original con respecto al eje y, como veremos a continuación.

Ejemplo 3. Graficamos la función y=(1/2)^x.

x	y=(1/2)x	Puntos
-2	(1/2)-2=(2)2=4	(-2, 4)
-1	(1/2)-1=(2)1=2	(-1, 2)
0	(1/2)0=1	(0, 1)
1	(1/2)1=1/2=0.5	(1, 0.5)

Efectivamente, esta gráfica nos resulta simétrica respecto al eje y al compararla con la del ejemplo 1, cuya función era y=2^x. De la misma forma, si graficaramos y=(-1/3)^x, obtendríamos una gráfica simétrica en y con la del ejemplo 2, en donde teníamos la función y=-3^x.

Como complemento a este artículo te recomiendo que mires este video sobre cómo Graficar una función exponencial.

Ejercicios propuestos.

Realiza la gráfica de las siguientes funciones exponenciales: