Funciones logarítmicas

Se define un logaritmo como “el exponente al que debe elevarse una cierta base para obtener un determinado valor”. Así, por ejemplo, el logaritmo en base 3 de 81, es el exponente al que debería elevar la base 3 para obtener 81, es decir, es igual a 4. Esto se representa simbólicamante de la siguiente forma:

log₃ 81 = 4, porque 3⁴ = 81

Las bases siempre se toman con signo positivo y pueden ser enteras o fraccionarias, incluso números irracionales como el número e (número de Euler), cuyo valor es 2.71828... Al emplearse este número como base de logarítmos nos hallamos frente al llamado sistema de logaritmos naturales. En este caso la nomenclatura varía un poco:

ln 20 = 2.995, porque e^2.995 = (2.7182)^2.995 = 20

En caso de que usemos la base entera 10, el logaritmo se llama logaritmo vulgar. En estos se omite poner la base 10 como subíndice. Ejemplo:

log 120 = 2.079, porque 10^2.079 = 120

Puedes ver el siguiente video en donde se ejemplifica el cálculo de logaritmos a partir del Concepto intuitivo de logaritmo.

Una función logarítmica es aquella que contiene a la variable independiente dentro de un logaritmo, en lo que se llama “argumento” del logaritmo. Estos son algunos ejemplos:

y = log₅ (x+1)

y = log (2x)    

y = 3ln (x)      

Los argumentos de las funciones anteriores son los espacios que hay entre los paréntesis y, como puede observarse, contienen expresiones algebraicas con la variable independiente x, como “x+1”, “2x” o simplemente la variable “x”. A continuación veremos un poco sobre las gráficas de este tipo de funciones.

 

Ejemplo 1. Las gráficas de funciones logarítmicas son semejantes a las de las funciones exponenciales, sólo que varían en su posición, teniendo como asíntota ya no al eje x sino al eje y. Por ejemplo, la gráfica para y = log x sería similar a la de y = 10^x, como se ve a continuación:

Gráfica de y = log x

Gráfica de y = 10^x

Obsérvese que la asíntota en la función logarítmica es el eje y. Los cambios semejantes a los que vimos antes en las funciones exponenciales se pueden producir en las logarítmicas cambiando el signo del logaritmo. Por ejemplo, si en vez de y=logx escribimos y= -logx, la gráfica de esta última se extenderá de arriba hacia abajo simétricamente con la de la primera.

Ejercicios propuestos.

1. Realiza la gráfica de las siguientes funciones logarítmicas:

a) y=-log₄x

b) y=log₅x

c) y=-lnx

d) y=log(2x)

e) y=-log₅x

f) y=log₆x

g) y=ln (2x)